Question

已知函數(shù)f(x)＝xlnx．

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

⑶是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當(dāng)a＞m時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，不等式f(a＋x)＜f(a)·e^x恒成立？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明結(jié)論的合理性．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)令，得x．

　　當(dāng)x∈(0，)時(shí)，；當(dāng)x∈()時(shí)，．

　　所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(3分)

　　(2)由于x＞0，所以．

　　構(gòu)造函數(shù)，則令，得．

　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

　　所以函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即．

　　因此所求的k的取值范圍是．(7分)

　　(3)結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)存在．　解釋如下：

　　．

　　構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題就是要求恒成立．(9分)

　　對(duì)于求導(dǎo)得．

　　令，則，顯然是減函數(shù)．

　　又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而，

　　，

　　．

　　所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，令為和，并且有：在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即．從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．

　　題目要找的，理由是：

　　當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意非零正數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說(shuō)明；

　　當(dāng)時(shí)，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說(shuō)明不能比�。�

　　綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，不等式恒成立．(12分)

　　(注意：對(duì)于和的存在性也可以如下處理：

　　令，即．作出基本函數(shù)和的圖像，借助于它們的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)很容易知道方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根和，且，(實(shí)際上)，可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．)