Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-2x²-4ax，
（1）若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，5]上的最值．
（3）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f′（2）=12a-8-4a=0．解出并驗證即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得極值點，求出極值和區(qū)間端點值并比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
（3）由f′（x）=3ax²-4x-4a，要使函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在R上恒成立，可得△≤0，解出即可判斷出．

解答：解：f′（x）=3ax²-4x-4a．
（1）∵x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，∴f′（2）=12a-8-4a=0．
解得a=1．
經(jīng)驗證a=1符合函數(shù)取得極值的條件；
（2）∵f′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x=-

2

3

或2，
又f（-1）=1，f(-

2

3

)=

40

27

，f（2）=-8，f（5）=55．
因此函數(shù)f（x）的最大值是55，最小值是-8．
（3）∵f′（x）=3ax²-4x-4a，要使函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在R上恒成立，
則a必須滿足△=16+16a×3a≤0，因此不存在a滿足條件．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等是解題的關(guān)鍵．