{an},{bn}都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的自然數(shù)n，都有an、bn2、an+1成等差數(shù)列，bn2、an+1、bn+12成等比數(shù)列.

    (1)試問{bn}是否是等差數(shù)列？為什么？

    (2)求證：對任意的自然數(shù)p,q(p＞q),bp－q2+bp+q2≥2bp2成立；

    (3)如果a1=1,b1=,，求.

 

答案：
解析：

答案：解：依題意2bn2=an+an+1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ①

    an+12=bn2·bn+12.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ②

    (1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，從而n≥2時，an=bn－1·bn,代入①2bn2=　　   bn－1bn+bnbn+1,

    ∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2),

    ∴{bn}是等差數(shù)列.

    (2)因為{bn}是等差數(shù)列，∴bp－q+bp+q=2bp.

    ∴.

    (3)由a1=1,b1=及①②兩式易得a2=3, ，

    ∴{bn}中公差，

    ∴bn=b1+(n－1)d

    =,

∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ③

    又a1=1也適合③,∴(n∈N),

    ∴,

    ∴1－

    =,

    ∴.

 


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（3）求證：      （n≥2，n∈N+）

 

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