已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－x1

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)記f(x)在區(qū)間[0，π](n∈N*)上的最小值為bx令an＝ln(1＋n)－bx．

(Ⅲ)如果對一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

(Ⅳ)求證：

答案：
解析：

　　解法一：

　　(Ⅰ)因?yàn)?I>f(x)＝ln(1＋x)－x，所以函數(shù)定義域?yàn)?－1，＋)，且f〃(x)＝－1＝．

　　由＞0得－1＜x＜0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，0)；

　　由＜0得x＞0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋)．

　　(Ⅱ)因?yàn)?I>f(x)在[0，n]上是減函數(shù)，所以bn＝f(n)＝ln(1＋n)－n，

　　則an＝ln(1＋n)－bn＝ln(1＋n)－ln(1＋n)＋n＝n．

　　(i)＞

　　又lim，

　　因此c＜1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－，1)．

　　(Ⅱ)由(i)知

　　因?yàn)閇]2

　　

　　所以＜(nN*)，

　　則＜

　　

　　N*)

　　解法二：

　　(Ⅰ)同解法一．

　　(Ⅱ)因?yàn)?I>f(x)在上是減函數(shù)，所以

　　則

　　(ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image168.gif" width=140 HEIGHT=48>對n∈N*恒成立．所以對n∈N*恒成立．

　　則對n∈N*恒成立．

　　設(shè)n∈N*，則c＜g(n)對n∈N*恒成立．

　　考慮

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image173.gif" width=370 height=48>＝0，

　　所以內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時，g(n)隨n的增大而減小，

　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1263/0022/e6626d1f841b1c1654772b61eb6a2462/C/Image175.gif" width=482 height=84>＝1．

　　所以對一切因此c≤1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(－∞，1]．

　　(ⅱ)由(ⅰ)知

　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

　�、佼�(dāng)n＝1時，左邊＝，右邊＝，左邊＜右邊．不等式成立．

　�、诩僭O(shè)當(dāng)n＝k時，不等式成立．即

　　當(dāng)n＝k＋1時，

　　

　　＝

　　即n＝k＋1時，不等式成立

　　綜合①、②得，不等式成立．

　　所以

　　

　　即．

　　本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數(shù)y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當(dāng)a≥時，函數(shù)t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點(diǎn)？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

(3)當(dāng)x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當(dāng)x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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