Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，己知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=lna_2n+1，n=1，2，3…，求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比，由已知列首項和公比的方程組，求解方程組得首項和公比，然后代入等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把a_2n+1代入b_n=lna_2n+1，得到數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式得答案．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），
由已知得

a1+a1q+a1q2=7 a1+3+a1q2+4 2 =3a1q

，解得

a1=1 q=2

．
∴an=a1qn-1=2n-1；
（2）由b_n=lna_2n+1，得
bn=ln22n=2nln2，
b_n+1-b_n=2（n+1）ln2-2nln2=2ln2．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴Tn=2nln2+

n(n-1)2ln2

2

=n(n+1)ln2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，是中檔題．