Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2），a₁=f（1），a₂=f（2），其中f（x）=2^x-1，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：{

3n+2Sn

n

}為等差數(shù)列；
（3）若b_n=（-1）ⁿS_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1+a_n-1=2a_n，可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由f（x）=2^x-1，可求a₁，a₂，進而可求公差d，從而可求通項
（2）由等差數(shù)列的求和公式可得，cn=

3n+Sn

n

=3+2n，要證明數(shù)列{

3n+2Sn

n

}為等差數(shù)列，只要證明c_n+1-c_n=d（d為常數(shù)）
（3）由題意可得，b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²，T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²，結合所要求的式子的特點，考慮需要分n為偶數(shù)，n為奇數(shù)分別進行求解

解答：解：（1）∵a_n+1+a_n-1=2a_n
由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
∵f（x）=2^x-1
∴a₁=f（1）=1，a₂=f（2）=3
∴d=2
∴a_n=1+（n-1）2=2n-1（n∈N^*）…4分
證明：（2）由等差數(shù)列的求和公式可得，Sn=n+

n(n-1)

2

×2=n2…6分
令cn=

3n+Sn

n

=3+2n，則c_n+1-c_n=2（為與n無關的常數(shù)），…7分
所以，{

3n+2Sn

n

}是以5為首項、以2為公差的等差數(shù)列 …8分
解：（3）∵b_n=（-1）ⁿS_n=（-1）ⁿn²
∴T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²…10分
當n為偶數(shù)時，T_n=-1+2²-3²+4²-…-（n-1）²+n²
=3+7+11+…+（2n-1）
=

(3+2n-1) n 2

2

=

n(n+1)

2

．…12分
當n為奇數(shù)時，T_n=-1+2²-3²+4²-…+（-1）ⁿn²
=T_n-1-n²=

(n-1)n

2

-n2=-

n(n+1)

2

…13分
綜上可得，Tn=-1+22-32+42-…+(-1)nn2=(-1)n

n(n+1)

2

…14分

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的定義法證明，及數(shù)列的求和，屬于數(shù)列知識的綜合應用．