Question

16．如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P位于兩平行直線l₁、l₂兩側(cè)，且P到l₁，l₂的距離分別為1，3，點(diǎn)M，N分別在l₁，l₂上，|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8，則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最大值為（　　）

• A． 15
• B． 12
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量$\overrightarrow{PM}$、$\overrightarrow{PN}$，根據(jù)|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8求出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的解析式，再求其最大值．

解答 解：由點(diǎn)P位于兩平行直線l₁，l₂的同側(cè)，且A到l₁，l₂的距離分別為1，3，
可得平行線l₁、l₂間的距離為2；
以直線l₂為x軸，以過點(diǎn)P且與直線l₂垂直的直線為y軸，
建立坐標(biāo)系，如圖所示：
由題意可得點(diǎn)P（0，-1），直線l₁的方程為y=2，
設(shè)點(diǎn)M（a，0）、點(diǎn)N（b，2），
∴$\overrightarrow{PM}$=（a，1）、$\overrightarrow{PN}$=（b，3），
∴$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$=（a+b，4）；
∵|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8，
∴（a+b）²+16=64，
∴a+b=4$\sqrt{3}$，或a+b=-4$\sqrt{3}$；
當(dāng)a+b=4$\sqrt{3}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=ab+3=a（4$\sqrt{3}$-a）+3=-a²+4$\sqrt{3}$a+3，
它的最大值為-${（2\sqrt{3}）}^{2}$+4$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$+3=15；
當(dāng)a+b=-3時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=ab+3=a（-4$\sqrt{3}$-a）+3=-a²-4$\sqrt{3}$a+3，
它的最大值為-${（-2\sqrt{3}）}^{2}$-4$\sqrt{3}$×（-2$\sqrt{3}$）+3=15；
綜上可得，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值為15．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積公式以及向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算問題，是綜合題．