Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k的值
（2）已知f（1）=$\frac{15}{4}$，函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域；
（3）在第（2）問的條件下，試問是否存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對任意x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．f（0）=0，可得k的值．
（2）f（1）=$\frac{15}{4}$，求出a的值，可得f（x），函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，可求g（x）的值域；
（3）假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)λ，轉(zhuǎn)化成不等式問題求解，分類討論其正整數(shù)λ的值即可．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得：k=1，
故得函數(shù)f（x）=a^x-a^-x，
（2）∵f（1）=$\frac{15}{4}$，
可得f（1）=$a-\frac{1}{a}$=$\frac{15}{4}$，
解得：a=4或a=$-\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
故得：a=4．
∴函數(shù)f（x）=4^x-4^-x
∵函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，
∴g（x）=4^2x+4^-2x-2（4^x-4^-x）=（4^x-4^-x）²-2（4^x-4^-x）+2
令t=4^x-4^-x，
∵x∈[0，1]，由（1）知t=f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴t∈[0，$\frac{15}{4}$]．
那么：g（x）=（4^x-4^-x）²-2（4^x-4^-x）+2轉(zhuǎn)化為h（t）=t²-2t+2，
函數(shù)h（t）圖象開口向上，對稱軸t=1，
∴當(dāng)$t=\frac{15}{4}$時，h（t）有最大值$\frac{137}{16}$；即函數(shù)g（x）最大值為$\frac{137}{16}$．
當(dāng)t=1時，h（t）有最小值1，即函數(shù)g（x）最小值為1．
∴函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇1，$\frac{137}{16}$]．
（3）由（2）可得f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）（4^x-4^-x）
∵f（2x）≥λ•f（x），即為（4^x+4^-x）（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x）．
假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)λ，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
①當(dāng)x=0時，不等式恒成立，
故得：λ∈R．
②當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，4^x-4^-x＞0，不等式轉(zhuǎn)化為4^x+4^-x≥λ；
令u=4^x，
則：1＜u≤2．
易證：Z=$u+\frac{1}{u}$在（1，2]上是增函數(shù)，其最小值為2．
故得：λ≤2．
③當(dāng)x∈[-$\frac{1}{2}$，0）時，4^x-4^-x＜0，不等式轉(zhuǎn)化為4^x+4^-x≤λ；
令v=4^x，
則：$\frac{1}{2}$≤v＜1，
易證：Z′=$v+\frac{1}{v}$在[$\frac{1}{2}$，1）上是減函數(shù)，其最大值為$\frac{5}{2}$．
故得：λ≥$\frac{5}{2}$．
綜上所得，λ不存在固定的值．
∴不存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對任意x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．

點(diǎn)評 本題考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法，值域的綜合問題，恒成立的討論轉(zhuǎn)化為不等式求解．屬于難題．