Question

已知函數(shù)f（x）=λx²+λx，g（x）=λx+lnx，h（x）=f（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0．
（1）當(dāng)λ=-1時(shí)，求函數(shù)g（x）的最大值；
（2）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)φ(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0.

若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x，存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t）成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：①令g′（x）=0求出根，判斷兩邊的符號(hào)，求出最值
②導(dǎo)數(shù)大于零求出單增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于零求出單調(diào)遞減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定在定義域內(nèi)
③不等式恒成立就是求函數(shù)的最值，注意對(duì)參數(shù)的討論

解答：解：（1）當(dāng)λ=-1時(shí)，g（x）=lnx-x，（x＞0）
∴g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，(x＞0)
令g′（x）=0，則x=1，
∴g（x）=lnx-x在（0，1）上單調(diào)遞增，
在（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴g（x）_max=g（1）=-1
（2）h（x）=λx²+2λx+lnx，
h′(x)=2λx+2λ+

1

x

=

2λx2+2λx+1

x

，（x＞0）
∴當(dāng)λ＞0時(shí)，h'（x）＞0，∴函數(shù)h（x）的增區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)λ＜0時(shí)，h′(x)=

2λ(x- -λ- λ2-2λ 2λ )(x- -λ+ λ2-2λ 2λ )

x

，
當(dāng)x＞

-λ- λ2-2λ

2λ

時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）是減函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜

-λ- λ2-2λ

2λ

時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）是增函數(shù)．
綜上得，
當(dāng)λ＞0時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)λ＜0時(shí)，h（x）的增區(qū)間為(0，

-λ- λ2-2λ

2λ

)，
減區(qū)間為(

-λ- λ2-2λ

2λ

，+∞)（10分）
（3）當(dāng)x＞0，φ′(x)=λ+

1

x

在（0，+∞）上是減函數(shù)，
此時(shí)φ′（x）的取值集合A=（λ，+∞）；
當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）=2λx+λ，
若λ＞0時(shí)，φ′（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
此時(shí)φ′（x）的取值集合B=（-∞，λ）；
若λ＜0時(shí)，φ′（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
此時(shí)φ′（x）的取值集合B=（λ，+∞）．
對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x，
①當(dāng)x＞0時(shí)，∵φ′（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
則在（0，+∞）上不存在實(shí)數(shù)t（t≠x），使得φ′（x）=φ′（t），
則t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有A⊆B，∴λ＜0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，φ′（x）=2λx+λ在（-∞，0）時(shí)是單調(diào)函數(shù)，
則t∈（0，+∞），要在（0，+∞）上存在非零實(shí)數(shù)t（t≠x），
使得φ′（x）=φ′（t）成立，必定有B⊆A，∴λ＜0．
綜上得，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，單調(diào)性，值域，屬于難題，在高考中常出現(xiàn)在解答題中最后兩題．