(1)求證:AD∥平面A1BC;
(2)求證:平面A1MC⊥平面A1BD1;
(3)求點A到平面A1MC的距離.
解法1:(1)證明如下:由已知AD∥BC,而BC在平面A1BC內,AD在平面A1BC外,所以AD∥平面A1BC.
(2)證明如下:連結BD,得△DAB∽△CDM,
∴∠ADB=∠DCM.由=,∠DAB=∠CDM.
又∠DCM+∠DMC=90°,
∴∠ADB+∠DMC=90°.故BD⊥CM,又BD是BD1在平面ABCD上的射影,
由三垂線定理可知BD1⊥CM.
同理可得BD1⊥A1M,
∴BD1⊥平面A1MC.又BD1平面A1BD1,
∴平面A1MC⊥平面A1BD1.
(3)取BC的中點P,設O為A1C與BD1的交點,OC的中點Q,連結AP、PQ,由AP∥MC知點A到平面A1MC的距離等于點P到平面A1MC的距離,由P、Q分別是BC、OC的中點知PQ∥BO,PQ=BO.又BO⊥平面A1MC,∴PQ⊥平面A1MC.而BO=a,∴PQ=a,即點A到平面A1MC的距離為a.
解法2:以D為原點,以射線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標系,可知各點坐標分別為D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),
M(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a).
(1)由此可得=(a,0,0),=(a,-a,0),
所以=.故∥.而BC在平面A1BC內,AD在平面A1BC外,所以AD∥平面A1BC.
(2)=(a,0,a),=(,-a,0), ·=0,故BD1⊥CM.同理可得BD1⊥A1M,∴BD1⊥平面A1MC.又BD1平面A1BD1,∴平面A1MC⊥平面A1BD1.
(3)=(,0,0),=(a,0,-a)由(2)知是平面A1MC的法向量.
∴點A到平面A1MC的距離為.
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科目:高中數學 來源: 題型:
A. B. C. D.1
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科目:高中數學 來源: 題型:
A. B. C. D.1
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科目:高中數學 來源:2010-2011年四川省成都市高二3月月考數學試卷 題型:填空題
(文科做)(本題滿分14分)如圖,在長方體
ABCD—A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.
(1)證明:D1E⊥A1D;
(2)當E為AB的中點時,求點E到面ACD1的距離;
(3)AE等于何值時,二面角D1—EC-D的大小為.
(理科做)(本題滿分14分)
如圖,在直三棱柱ABC – A1B1C1中,∠ACB = 90°,CB = 1,
CA =,AA1 =,M為側棱CC1上一點,AM⊥BA1.
(Ⅰ)求證:AM⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求二面角B – AM – C的大。
(Ⅲ)求點C到平面ABM的距離.
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