Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數(shù)y=-x+12的圖象上．
（1）寫出S_n關(guān)于n的函數(shù)表達式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）計算T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|；
（4）已知bn=

an-13

2

，若對一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意，∵點（n，

Sn

n

）（n∈N^*）均在函數(shù)y=-x+12的圖象上，∴

Sn

n

=-n+12
∴S_n=-n²+12n；
（2）當n=1時，a_n=a₁=S₁=11；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-[-（n-1）²+12（n-1）]=-2n+13，
∴n=1時，結(jié)論成立
∴a_n=-2n+13；
（3）T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆）
=2S₆-S₁₆=136；
（4）bn=

an-13

2

=-n，若對一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即為-n²+12n-3＜-mn對一切n∈N^*均成立…（10分）
即m＜n+

3

n

-12對一切n∈N^*均成立
∴m＜-

17

2

…（12分）