Question

已知函數f(x)=2sinxcosx+cos(2x-

π

6

)+cos(2x+

π

6

)，x∈R．
（Ⅰ）求f(

π

12

)的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的最大值和最小值，及相應的x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），從而可求f（

π

12

）的值．
（Ⅱ）可先求得 

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

，從而可求函數f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的最大值和最小值，及相應的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos（2x-

π

6

）+cos（2x+

π

6

）
=sin2x+（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）+（cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
所以f（

π

12

）=2sin

π

2

=2． …（7分）
（另解）f（

π

12

）=2sin

π

12

cos

π

12

+cos（2×

π

12

-

π

6

）+cos（2×

π

12

+

π

6

）=sin

π

6

+sn

π

2

+cos

π

3

=2． …（2分）
（Ⅱ）因為 

π

2

≤x≤π，
所以 

4π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

3

．
所以 當2x+

π

3

=

7π

3

，即x=π時，ymax=

3

；
當2x+

π

3

=

3π

2

，即x=

7π

12

時，y_min=-2．…（13分）
所以當x=π時，ymax=

3

；當x=

7π

12

時，y_min=-2．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，屬于基本知識的考查．