Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數f（x）的定義域，判斷并證明函數f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）是否存在這樣的實數k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0對一切恒成立，若存在，試求出k的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）不存在滿足題意的實數k.

【解析】

（Ⅰ）真數大于0解不等式可得定義域；奇偶性定義判斷奇偶性；
（Ⅱ）假設存在實數k后，利用奇偶性和單調性去掉函數符號后變成具體不等數組，然后轉化為最值即可得．

（Ⅰ）由＞0 得-2＜x＜2，

所以f（x）的定義域為（-2，2）；

∵f（-x）=lg=-lg=-f（x），

∴f（x）是奇函數．

（Ⅱ）假設存在滿足題意的實數k，則

令t===-1，x∈（-2，2），

則t在（-2，2）上單調遞減，又y=lgt在（0，+∞）上單調遞增，

于是函數f（x）在（-2，2）上單調遞減，

∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0f（k-x2）≥-f（2k-x4）

f（k-x2）≥f（x4-2k）-2＜k-x2≤x4-2k＜2，

由題意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2對一切x∈[-，]恒成立，

得不等式組對一切x∈[-，]恒成立，

∴，即k∈．

故不存在滿足題意的實數k．