Question

若直線l與圓⊙O：x²+y²=9，交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△AOB是等邊三角形，則x₁x₂+y₁y₂=

 

．

Answer 1

分析：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3，故考慮直線了l的斜率存在情況：分別就k存在與不存在兩種情況討論：當直線的斜率不存在時容易求解當直線的斜率存在時，可設直線的方程為：y=kx+b，聯立方程

y=kx+b x2+y2=9

可得（1+k²）x²+2kbx+b²-9=0，由已知可得O到直線的距離

3

2

3

，利用點到直線的距離可得b，k的關系，然后根據方程根與系數的關系代入求解，可得答案．

解答：解：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3
當直線的斜率不存在時可得滿足條件的直線 L：y=±

3 3

2

，此時x₁x₂+y₁y₂=

9

2

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為：y=kx+b
聯立方程

y=kx+b x2+y2=9

可得（1+k²）x²+2kbx+b²-9=0
∴x1+x2= -

2kb

1+k2

，x1x2=

b2-9

1+k2

由已知可得O到直線的距離

3

2

3

，利用點到直線的距離可得b2=

27

4

(1+k2)
x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=b2-9-

2k2b2

1+k2

+b2
=2 ×

27

4

(1+k2) -9-  

27

2

k2=

9

2

故答案為：

9

2

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質，聯立直線方程與曲線方程是解決弦長問題常見的方法，而利用點到直線的距離公式可以簡化計算．