Question

）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關系，兩個向量的數(shù)量積公式，求出和的值是解題的關鍵

解：⑴設橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為為不同的兩點，所以．

于是存在直線滿足條件，其方程為．………………………………12分