已知函數(shù)f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）．
（Ⅰ）求值：f(
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)+f(-
1
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)；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明．
分析：（1）先證明f（x）為奇函數(shù)，即證f（-x=-f（x），再將
1
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看成一個整體，利用函數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)果；
（2）先設(shè)-1＜x1＜x2＜1，再利用作差f（x1）-（x2），考查其結(jié)果與0比較，如果f（x1）-（x2）＞0，
即可得原函數(shù)在（-1，1）上為減函數(shù)．否則是增函數(shù)．
解答：解：（1）
1-x＞0
1+x＞0
?-1＜x＜1（2分）
又f（-x）=lg（1+x）-lg（1-x）=-f（x）∴f（x）為奇函數(shù)，
故f(
1
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)+f(-
1
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)=0． （6分）
（2）設(shè)-1＜x1＜x2＜1，
則f(x1)-f(x2)=lg
1-x1
1+x1
-lg
1-x2
1+x2
=lg
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)

∵（1-x1）（1+x2）-（1+x1）（1-x2）=2（x2-x1）＞0
又（1-x1）（1+x2）＞0，（1+x1）（1-x2）＞0
∴
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞1，∴l(xiāng)g
(1-x1)(1+x2)
(1+x1)(1-x2)
＞0
從而f（x1）＞f（x2）故f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)． （12分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點、對數(shù)的運算等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
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f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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