Question

已知函數(shù)，a為正常數(shù)．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在（1）中當(dāng)a=0時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為C（x，y），記直線AB的斜率為k，試證明：k＞f'（x）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意先把f（x）的解析式具體，然后求其導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出的即為函數(shù)的增區(qū)間；
（2）對于當(dāng)a=0時，先把f（x）=lnx具體出來，然后求導(dǎo)函數(shù)，得到f^′（x），在利用斜率公式求出過這兩點的斜率公式，利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)數(shù)的單調(diào)性比較大�。�
（3）因為g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，先寫出g（x）的解析式，利用該函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解．
解答：解：（1）
∵a=，令f'（x）＞0得x＞2或
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為；

（2）證明：當(dāng)a=0時f（x）=lnx
∴
∴
又
不妨設(shè)x₂＞x₁，要比較k與f'（x）的大小，
即比較與的大小，
又∵x₂＞x₁，
∴即比較與的大小．
令，
則
∴h（x）在[1，+∞）上位增函數(shù)．
又，
∴，
∴，
即k＞f'（x）；

（3）∵，
∴
由題意得F（x）=g（x）+x在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)．
1°當(dāng)，
∴
由在x∈[1，2]恒成立．
設(shè)m（x）=，x∈[1，2]，則
∴m（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴
2°當(dāng)，
∴
由在x∈（0，1）恒成立
設(shè)t（x）=，x∈（0，1）為增函數(shù)
∴a≥t（1）=0
綜上：a的取值范圍為．
點評：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)地增區(qū)間，還考查了構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，重點考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化的思想及構(gòu)造的函數(shù)與思想．