Question

已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，AD=2，
∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：DC⊥平面PDE；
（2）若PD=

3

AD，求E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)底面為含有60度的菱形，得△DAB為正三角形，從而得到AB⊥DE，結(jié)合PD⊥AB利用線面垂直判定定理，即可證出DC⊥平面PDE；
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理算出PB=PC=4，利用正余弦定理算出△PBC的面積為

15

．由菱形的面積算出
S△EBC=

3

2

，在四面體PBCD內(nèi)利用等體積轉(zhuǎn)換，即可算出E到平面PBC的距離．

解答：解：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PD⊥AB…（2分）
連接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°
∴△DAB為等邊三角形…（4分）
又∵E為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥DE
∵PD、DE是平面PDE內(nèi)的相交直線，
∴DC⊥平面PDE；---------------（6分）
（2）∵AD=2，得PD=

3

AD=2

3

，
∴Rt△PCD中，PC=

PD2+AD2

=4，同理可得PB=4
∵cos∠BPC=

42+42-22

2×4×4

=

7

8

，得sin∠BPC=

1-( 7 8 )2

=

15

8

∴△PBC的面積為S_△PBC=

1

2

PB•PCsin∠BPC=

15

又∵S△EBC=

1

4

SABCD=

3

2

---------------（9分）
∴設(shè)點(diǎn)E到平面PBC的距離為h，
由 V_P-EBC=V_E-PBC得，

1

3

S△EBC•PD=

1

3

S△PBC•h，解之得h=

15

5

即點(diǎn)E到平面PBC的距離等于

15

5

---------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證線面垂直并求點(diǎn)到平面的距離．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和點(diǎn)面距離的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．