Question

已知函數(shù)在點（1，f（1））處的切線的斜率為．
（Ⅰ）求a的值；
（ II）設函數(shù)問：函數(shù)y=g（x）是否存在最小值點x？若存在，求出滿足x＜m的整數(shù)m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），由題意知f′（1）=，解出即得a值；
（ II）由（Ⅰ）寫出g（x），然后求出g′（x）=，令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，利用導數(shù)可判斷h（x）的單調性，由單調性及零點存在定理可得h（x）零點范圍，而該零點即最小值點x，由x＜m及m是整數(shù)可得m的最小值；
解答：解：（Ⅰ）=-a，
由題意得f′（1）=，解得a=2；
（II）由（Ⅰ）知，
則=，
則=，
令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，則，
故h（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，
又 h（2）=-4-2ln2＜0，h（3）=-1-2ln3＜0，h（4）=6-2ln4＞0，
因此最小值點x為h（x）的零點，所以3＜x＜4，而x＜m，m是整數(shù)，
故整數(shù)m的最小值為4．
點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)的最值，構造函數(shù)h（x）是解決（II）的關鍵，導數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，本題得到了充分發(fā)揮．