Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=3代入求出函數(shù)f（x）的解析式，然后令f（x）=0求出x的值，即得到答案．
（2）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)然后對a的值進(jìn)行分析：當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)進(jìn)而可得到最小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對函數(shù)區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而確定最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意f（x）=x²（x-3），
由f（x）=0，解得x=0，或x=3；
（Ⅱ）設(shè)此最小值為m．，f/(x)=3x2-2ax=3x(x-

2

3

a)，x∈(1，2)，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，x∈（1，2），
則f（x）是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，所以m=f（1）=1-a
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x＜0或x＞

2a

3

時(shí)，f'（x）＞0，從而f（x）在[

2

3

a，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x＜

2a

3

時(shí)，f'（x）＜0，從而f（x）在區(qū)間[0，

2

3

a]上是單調(diào)減函數(shù)
①當(dāng)

2

3

a≥2，即a≥3時(shí)，m=f（2）=8-4a
②當(dāng)1≤

2

3

a＜2，即

3

2

≤a＜3時(shí)，m=f(

2a

3

)=-

4a

27

3.
③當(dāng)0＜a＜

3

2

時(shí)，m=f（1）=1-a
綜上所述，所求函數(shù)的最小值m=

1-a，(a≤ 3 2 ) - 4a3 27 ，( 3 2 ＜a＜3) 4(2-a)，(a≥3)

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法、函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、函數(shù)在閉區(qū)間的最值的求法．導(dǎo)數(shù)時(shí)高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容，要給予重視．