Question

已知函數(shù)f（x）=x--3lnx+1
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間：
（II）求f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域；
（III）若方程7f（x）+m=+4x在[l，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)f（x）的定義域，求出f′（x），列出x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況表，由表即可得其單調(diào)區(qū)間；
（II）由（I）可知f（x）在[1，e²]上的極值，再求出f（x）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，其最小者為最小值，最大者為最大值，從而得值域；
（III）方程7f（x）+m=+4x可化為3（x--7lnx）+7+m=0，令g（x）=3（x--7lnx）+7+m，則方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于g（x）=0在[1，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）在[1，4]上的極值及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，結(jié)合圖象可得不等式組，解出即可；
解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+-==，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

所以f（x）在（0，1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減．
（II）由（I）可知在區(qū)間（1，e²）內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值，
由f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e²）=-5，
因?yàn)閒（2）＜f（1）＜f（e²），所以f（x）在區(qū)間[1，e²]上的值域?yàn)閇2-3ln2，-5]；
（III）由f（x）=x--3lnx+1及7f（x）+m=+4x，得3（x--7lnx）+7+m=0，
令g（x）=3（x--7lnx）+7+m，則方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于g（x）=0在[1，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
g′（x）=3（1+-）==，x∈[1，4]，
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，
依題意，g（x）=0在[1，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則，解得21ln2+2＜m≤42ln2-，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（21ln2+2，42ln2-]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．