Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x，x∈R.
(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)k的值；
(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝f(x)與曲線y＝mx²(m>0)公共點的個數(shù)．

Answer 1

（1）k＝（2）若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx²沒有公共點；若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx²有一個公共點；若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx²有兩個公共點

(1)f(x)的反函數(shù)為g(x)＝ln x.
設(shè)直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x的圖像在P(x₀，y₀)處相切，則有y₀＝kx₀＋1＝ln x₀，k＝g′(x₀)＝，
解得x₀＝e²，k＝.
(2)曲線y＝e^x與y＝mx²的公共點個數(shù)等于曲線y＝與直線y＝m的公共點個數(shù)．
令φ(x)＝，則φ′(x)＝，∴φ′(2)＝0.
當x∈(0，2)時，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當x∈(2，＋∞)時，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值為φ(2)＝.
綜上所述，當x>0時，大致圖像如圖所示，

若0<m<，曲線y＝f(x)與y＝mx²沒有公共點；
若m＝，曲線y＝f(x)與y＝mx²有一個公共點；
若m>，曲線y＝f(x)與y＝mx²有兩個公共點