在△ABC中，已知tanB=
cos(C-B)sinA+sin(C-B)
．
（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；
（2）若∠C=60°，AB=1，求△ABC的面積．
分析：（1）通過切化弦，由
sinB
cosB
=
cos(C-B)
sinA+sin(C-B)
可求得cos（C+B）=-cosA=0，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）依題意，可求得AC=
3
3
，利用三角形的面積公式即可求得答案．
解答：解：（1）由題意得，
cos(C-B)
sinA+sin(C-B)

=
cos(C-B)
sin(C+B)+sin(C-B)

=
cosCcosB+sinCsinB
2sinCcosB

=tanB=
sinB
cosB
，
所以cosCcosB+sinCsinB=2sinCsinB，
即有cosCcosB-sinCsinB=0，
即cos（C+B）=-cosA=0，
所以∠A=90°，即△ABC是直角三角形．
（2）因?yàn)椤螩=60°，AB=1，
又由（1）得：AC=ABtan30°=
3
3
，
所以△ABC的面積為
1
2
×AC×AB=
3
6
．
點(diǎn)評：本題考查三角形的形狀判斷，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點(diǎn)，
AD
•
BC
=0，H是△ABC的垂心，且
AH
=3
HD
．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點(diǎn)且斜率為-
1
2
的直線與軌跡M交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q（t，0）是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：南通高考密卷·數(shù)學(xué)（理） 題型：013

在△ABC中，已知三邊a，b，c成等差數(shù)列，且有sinB＋cosB＝t，則t的取值范圍是

[　　]

A．(0，)
B．(1，)
C．(0，1)
D．(，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上杭一中、武平一中、長汀一中、漳平一中2006－2007學(xué)年第一學(xué)期高三期末考數(shù)學(xué)試題(理) 題型：044

在△ABC中，已知B(－3，0)，C(3，0)，D為線段BC上一點(diǎn)，是△ABC的垂心，且．

(1)求點(diǎn)H的軌跡M的方程；

(2)若過C點(diǎn)且斜率為的直線與軌跡M交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t，0)是x軸上任意一點(diǎn)，

求：當(dāng)△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年江蘇省無錫市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點(diǎn)，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點(diǎn)且斜率為的直線與軌跡M交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q（t，0）是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省陸慕高級中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期第一次測試 題型：解答題

 

在△ABC中，已知．

  (Ⅰ) 求證： ｜｜＝｜｜；

(Ⅱ) 若｜＋｜＝｜－｜＝，求｜－t｜的最小值以及相應(yīng)的t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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