Question

已知點(diǎn)P（2，0）及圓C：。
（Ⅰ）若直線過點(diǎn)P且與圓心C的距離為1，求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過P的直線與圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時(shí)，求以MN為直徑的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)直線的斜率為k（k存在），則方程為y-0=k(x-2)，
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由，解得，
所以直線方程為，即；
當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為x=2，經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件。
（Ⅱ）由于，而弦心距，
所以，
所以P為MN的中點(diǎn)，
故以MN為直徑的圓Q的方程為。
（Ⅲ）把直線即，
代入圓C的方程，
消去y，整理得，
由于直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，
故，即，解得，
 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
由于垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在上，
所以的斜率，而，所以。
由于，
 故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線垂直平分弦AB。