Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為棱AA₁的中點．
（1）求證：AC₁⊥B₁D₁；
（2）求證：AC₁∥平面B₁D₁E；
（3）求由點A，B₁，D₁，E組成的四面體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明AC₁⊥B₁D₁，利用線面垂直的判定，證明B₁D₁⊥平面AA₁C₁即可；
（2）證明AC₁∥平面B₁D₁E，利用線面平行的判定，證明EO∥AC₁即可；
（3）根據(jù)AA₁=2，A₁D₁⊥平面AB₁E，利用即可求得體積．
解答：（1）證明：連接A₁C₁，交B₁D₁于點O，由正方體的性質(zhì)可知AA₁⊥平面A₁C₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，
∵AA₁∩A₁C₁=A₁，∴B₁D₁⊥平面AA₁C₁，
∵AC₁?平面AA₁C₁，∴B₁D₁⊥AC₁，即AC₁⊥B₁D₁；
（2）證明：連接EO，
在△AA₁C₁，A₁E=EA，A₁O=OC₁，∴EO∥AC₁，
∵EO?平面B₁D₁E，AC₁?平面B₁D₁E，
∴AC₁∥平面B₁D₁E；
（3）解：∵AA₁=2，A₁D₁⊥平面AB₁E，
∴由點A，B₁，D₁，E組成的四面體的體積為=
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、平行的判定方法，屬于中檔題．