Question

《保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過(guò)1.00ppm．現(xiàn)從一批羅非魚(yú)中隨機(jī)地抽出15條作樣本，檢測(cè)得各條魚(yú)的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)前一位數(shù)字為葉）如圖所示：

（l）若某檢查人員從這15條魚(yú)中，隨機(jī)地抽出3條，求恰有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)的概率；
（2）以此15條魚(yú)的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這批魚(yú)的總體數(shù)據(jù)．若從這批魚(yú)中任選3條魚(yú)，記ξ表示抽到的魚(yú)汞含量超標(biāo)的條數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式利用排列組合知識(shí)能求出15條魚(yú)中任選3條恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)的概率．
（2）依題意可知，這批羅非魚(yú)中汞含量超標(biāo)的魚(yú)的概率P=

5

15

=

1

3

，ξ可能取0，1，2，3．分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生的所有事件是從15條魚(yú)中選3條，共有C₁₅³種結(jié)果，
而滿足條件的事件是恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)有C₅¹C₁₀²種結(jié)果，
記“15條魚(yú)中任選3條恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)”為事件A
∴P（A）=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

∴15條魚(yú)中任選3條恰好有1條魚(yú)汞含量超標(biāo)的概率為

45

91

；
（2）依題意可知，這批羅非魚(yú)中汞含量超標(biāo)的魚(yú)的概率P=

5

15

=

1

3

，
這是在相同條件下進(jìn)行的試驗(yàn)，各次之間相互獨(dú)立，所以這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
所有ξ的取值為0，1，2，3，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式，
PP（ξ=0）=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

3

•(1-

2

3

)2=

4

9

，
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

3

)2(1-

1

3

)=

2

9

，P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，
其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（12分）
Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．