設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0，證明，{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+都有。
證明：先證必要性：
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立；
若d≠0，
則


；
再證充分性：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對一切n∈N+都成立，
首先，在等式，①
兩端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，
記公差為d，則a2=a1+d，
假設(shè)ak=a1+(k-1)d，當n=k+1時，觀察如下二等式
，②
，③
將②代入③，得，
在該式兩端同乘a1akak+1，得(k-1)，
將ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd，
由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差為d的等差數(shù)列．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=-ban+1-
1
(1+b)n
，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b≠-1．
（1）求an和an-1的關(guān)系式；
（2）寫出用n和b表示an的表達式；
（3）當0＜b＜1時，求極限
lim
n→∞
Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=kan+1，（其中k是與n無關(guān)的常數(shù)，且k≠1）．
（1）試寫出用n，k表示的an的表達式；
（2）若
limn→∞
sn=1，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0．證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N，都有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
n
a1an+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n，都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+…+a100的值是
200
200
．

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