Question

12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀�，重二斤．�?wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為a_i（i=1，2，…，10），且a₁＜a₂＜…＜a₁₀，若48a_i=5M，則i=6．

Answer 1

分析 由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{a_n}且設(shè)公差為d，由條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出a₁和d值，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出該金杖的總重量M，代入已知的式子化簡(jiǎn)求出i的值．

解答 解：由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，
記為{a_n}，設(shè)公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=2}\\{{a}_{9}+{a}_{10}=4}\end{array}\right.$，解得a₁=$\frac{15}{16}$，d=$\frac{1}{8}$，
所以該金杖的總重量M=$10×\frac{15}{16}+\frac{10×9}{2}×\frac{1}{8}$=15，
因?yàn)?8a_i=5M，所以48[$\frac{15}{16}$+（i-1）×$\frac{1}{8}$]=25，
即39+6i=75，解得i=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．