精英家教網(wǎng)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1A,B1B的中點(diǎn).
(1)求直線D1N與平面A1ABB1所成角的大;
(2)求直線CM與D1N所成角的正弦值;
(3)(理科做)求點(diǎn)N到平面D1MB的距離.
分析:(1)以DA為x軸,以DC為y軸,以DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量
D1N
和平面A1ABB1的一個(gè)法向量,利用向量法能求出直線D1N與平面A1ABB1所成角的大。
(2)分別求出向量
CM
,
D1N
,利用向量法先求出直線CM與D1N所成角的余弦值,再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出其正弦值.
(3)分別求出向量
D1N
和平面D1MB的法向量,然后利用向量法能求出點(diǎn)N到平面D1MB的距離.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)以DA為x軸,以DC為y軸,以DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是A1A,B1B的中點(diǎn),
∴D1(0,0,2),N(2,2,1),A(2,0,0),D(0,0,0)
D1N
=(2,2,-1),
設(shè)直線D1N與平面A1ABB1所成角為θ,
∵平面A1ABB1的一個(gè)法向量
DA
=(2,0,0),
∴sinθ=|cos<
D1N
DA
>|=|
4
4+4+1
×
4
|=
2
3
,
∴直線D1N與平面A1ABB1所成角的大小為arcsin
2
3

(2)∵C(0,2,0),M(2,0,1),
CM
=(2,-2,1),
設(shè)直線CM與D1N所成角的為α,
D1N
=(2,2,-1),
∴cosθ=|cos<
CM
,
D1N
>|=|
4-4-1
4+4+1
×
4+4+1
|=
1
9
,
∴sinθ=
1-(
1
9
)2
=
4
5
9

直線CM與D1N所成角的正弦值為
4
5
9

(3)∵M(jìn)(2,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),N(2,2,1),
D1M
=(2,0,-1)
,
D1B
=(2,2,-2),
D1N
=(2,2,-1),
設(shè)平面D1MB的法向量
n
=(x,y,z)
,
D1M
n
=0,
D1B
n
=0,
2x-z=0
2x+2y-2z=0
,∴
n
=(1,1,2)
,
∴點(diǎn)N到平面D1MB的距離d=
|
D1N
n
|
|
n
|
=
|2+2-2|
1+1+4
=
6
3
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面所成角的求法,考查點(diǎn)到直線的距離的求法,解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng),注意向量法的合理運(yùn)用.
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如圖,在棱長(zhǎng)為2的正四面體A-BCD中,若以△ABC為視角正面,則其正視圖的面積是( )

A.
B.
C.
D.

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