Question

數(shù)列{a_n}滿足S_n=2n-a_n（n∈N）
（Ⅰ）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=，
猜想a_n=
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)n=1，由上面計(jì)算可知猜想成立，
（2）假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即a_k=，
此時(shí)S_k=2k-a_k=2k-，
當(dāng)n=k+1時(shí)，S _k+1=2（k+1）-a _k+1，得S_k+a_k+1=2（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=[2（k+1）-S_k]=k+1-（2k-）=，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
∴a_n=（n∈N⁺）．
分析：（I）根據(jù)S_n=2n-a_n，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（II）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．