Question

8．已知函數(shù)f（x）=a ln（x+1）+$\frac{1}{2}$ax²-x．
（1）若f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）定義：若直線l與曲線C有公共點M，且在點M左右附近，曲線在直線的異側(cè)，則稱直線l在點M處穿過曲線C．
若a＞0，設f（x）在點（t，f（t））（t＞-1）處的切線為l．求證：直線l在切點（t，f（t））處穿過f（x）的圖象的充要條件是t=0．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)a≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$在（-1，+∞）上恒成立，求出右邊函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）f′（x）≥f′（0）對x＞-1恒成立，再按照充分性、必要性進行證明即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
∴a≥$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$在（-1，+∞）上恒成立，
設F（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+x+1}$（x＞-1），則F′（x）=-$\frac{x（x+2）}{（{x}^{2}+x+1）^{2}}$，
x∈（-1，0），F(xiàn)′（x）＞0；x∈（0，+∞），F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）_max=F（0）=1，
∴a≥1；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x+1}$+ax-1，切線l：y=g（x）=f′（t）（x-t）+f（t），
設h（x）=f（x）-g（x），則h（t）=0，h′（x）=f′（x）-f′（t），h′（t）=0，
x∈（-1，0），[f′（x）]′＜0；x∈（0，+∞），[f′（x）]′＞0，
∴f′（x）≥f′（0）對x＞-1恒成立
充分性，若t=0，則x∈（-1，+∞），f′（x）≥f′（0），h′（x）=f′（x）-f′（0）≥0，h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，x∈（-1，0），h（x）=f（x）-g（x）＜h（0）=0，∴f（x）＜g（x），在切點左側(cè)曲線總在l下方；x∈（0，+∞），h（x）=f（x）-g（x）＞h（0）=0，∴f（x）＞g（x），在切點右側(cè)曲線總在l上方，即直線l在切點（t，f（t））處穿過f（x）的圖象；
必要性，假設t≠0，
若t＞0，則x∈（t，+∞），f′（x）＞f′（t），h′（x）=f′（x）-f′（t）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
h（x）=f（x）-g（x）＞h（t）=0，∴f（x）＞g（x），在切點右側(cè)曲線總在l上方；
x∈（0，t），f′（x）＜f′（t），h′（x）=f′（x）-f′（t）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
h（x）=f（x）-g（x）＞h（t）=0，∴f（x）＞g（x），在切點左側(cè)（0，t），曲線總在l上方，
∴t＞0，直線l在切點（t，f（t））處不能穿過f（x）的圖象；
同理t∈（-1，0），直線l在切點（t，f（t））處不能穿過f（x）的圖象，
∴t=0是直線l在切點（t，f（t））處能穿過f（x）的圖象的必要條件，
∴直線l在切點（t，f（t））處穿過f（x）的圖象的充要條件是t=0．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查充分必要條件的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．