Question

已知函數(shù)在x=1和處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，求實數(shù)c的最小值．（參考數(shù)據(jù)e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)在x=1和處取得極值，我們求出函數(shù)的導函數(shù)f′（x）的解析式，易得，解方程組，即可得到實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間上存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，表示函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值小于等于c，根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞）…（2分）
依題意得，，解得，
故所求a，b的值為…（5分）
（Ⅱ）在上存在x，使不等式f（x）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]_min
由（Ⅰ）知
當時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，
當時，f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，
當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減…（7分）
∴是f（x）在上的極小值，且函數(shù)f（x）的最小值必是兩者中較小的…（8分）
而，∵e³≈20.08＞16，∴…（9分）∴
所以，實數(shù)c的最小值為．…（10分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中根據(jù)已知中函數(shù)在x=1和處取得極值，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，確定出函數(shù)f（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．