Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為.
(1)求拋物線(xiàn)方程；
(2)斜率為的直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)交于
(Ⅰ)求直線(xiàn)在軸上截距的取值范圍；
(Ⅱ)若分別與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)，證明：交于一定點(diǎn).

Answer 1

解：（1）設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，因直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故有
，即，化簡(jiǎn)得
，易知
，                                ………4分
即拋物線(xiàn)方程為
（2）(Ⅰ)將直線(xiàn)方程代入得
，由得，
又斜率為1經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截距為，
于是直線(xiàn)在軸上截距的取值范圍是          ………8分
(Ⅱ)設(shè)的坐標(biāo)分別為，
則直線(xiàn)的斜率，
同理知直線(xiàn)的斜率分別為
于是由三點(diǎn)共線(xiàn)得，
化簡(jiǎn)得                         ①
以替換得                 ②
同理由三點(diǎn)共線(xiàn)得
再由及共線(xiàn)分別得到
                             ③
                             ④
將①②式分別代入③④式得


易知，即與交于點(diǎn).             ………12分

略