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6.設(shè)函數(shù)f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin({2x-\frac{π}{6}})
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈({0,\frac{π}{2}}),求函數(shù)f(x)的值域.

分析 (Ⅰ)化簡(jiǎn)可得f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin({2x-\frac{π}{6}})=2sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2},從而確定周期;
(Ⅱ)由x∈({0,\frac{π}{2}})可得-\frac{1}{2}<2sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}\frac{5}{2}

解答 解:(Ⅰ)f(x)=\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x+sin({2x-\frac{π}{6}})
=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x
=\sqrt{3}sin2x-cos2x+\frac{1}{2}
=2sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}
故函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
(Ⅱ)∵x∈({0,\frac{π}{2}}),
∴-\frac{π}{6}<2x-\frac{π}{6}\frac{5π}{6}
∴-\frac{1}{2}<sin(2x-\frac{π}{6})≤1,
∴-1<2sin(2x-\frac{π}{6})≤2,
∴-\frac{1}{2}<2sin(2x-\frac{π}{6})+\frac{1}{2}\frac{5}{2}
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?\frac{1}{2},\frac{5}{2}].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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