已知矩形ABCD中,,BC=1.以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy.
(1)求以A,B為焦點(diǎn),且過C,D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與(1)中的橢圓交于M,N兩點(diǎn),是否存在直線l,使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)題意知2a=AC+BC,求得a,進(jìn)而根據(jù)b,a和c的關(guān)系求得b,則橢圓的方程可得.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2.與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式大于0求得k的范圍,設(shè)M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2,進(jìn)而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),推斷則,得知x1x2+y1y2=0,根據(jù)x1x2求得y1y2代入即可求得k,最后檢驗(yàn)看是否符合題意.
解答:解:(1)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
則2a=AC+BC,
,所以a=2.
所以b2=a2-c2=4-2=2.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(2)由題意知,直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2.
得(1+2k2)x2+8kx+4=0.
因?yàn)镸,N在橢圓上,
所以△=64k2-16(1+2k2)>0.
設(shè)M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
,
若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,
所以x1x2+y1y2=0,
所以,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,
即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
所以,,即
得k2=2,
經(jīng)驗(yàn)證,此時(shí)△=48>0.
所以直線l的方程為,或
即所求直線存在,其方程為
點(diǎn)評:本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的關(guān)系.在設(shè)直線方程時(shí)一定要看斜率的存在情況,最后還要檢驗(yàn)斜率k是否符合題意.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E為CD的中點(diǎn),沿AE將△AED折起,使DB=2
3
,O、H分別為AE、AB的中點(diǎn).
(1)求證:直線OH∥面BDE;
(2)求證:面ADE⊥面ABCE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4.將矩形ABCD沿對角線BD折起,使得面BCD⊥面ABD.現(xiàn)以D為原點(diǎn),DB作為y軸的正方向,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,此時(shí)點(diǎn)A恰好在xDy坐標(biāo)平面內(nèi).試求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,1為半徑的圓上,若
AP
AB
AD
(λ,μ∈R),則λ+2μ的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•臨沂二模)如圖,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O為CD的中點(diǎn),沿AO將三角形AOD折起,使DB=
3

(Ⅰ)求證:平面AOD⊥平面ABCO;
(Ⅱ)求直線BC與平面ABD所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形ABCD中,AB=6,BC=6
2
,E為AD的中點(diǎn)(圖一).沿BE將△ABE折起,使平面ABE⊥平面BECD(圖二),且F為AC的中點(diǎn).
(1)求證:FD∥平面ABE;
(2)求證:AC⊥BE.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案