Question

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，O為坐標(biāo)原點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若對任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）＜-2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在極值點，可得

0＜m＜1 m+ 1 3 ＞1

，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論，構(gòu)造函數(shù)h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

，設(shè)t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．利用對任意x∈（0，1）恒有g(shù)（x）＜-2，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意k=

1+lnx

x

，x＞0
所以f′（x）=-

lnx

x2

   …（2分）
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，
則f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+

1

3

）（m＞0）上存在極值，
所以

0＜m＜1 m+ 1 3 ＞1

，得

2

3

＜m＜1
即實數(shù)m的取值范圍是（

2

3

，1）．    …（4分）
（Ⅱ）由題可知，a＞0，因為x∈（0，1），所以

1+x

1-x

lnx＜0．
當(dāng)a＜0時，g（x）＞0，不合題意．
當(dāng)a＞0時，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0．…（6分）
設(shè)h（x）=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則h′（x）=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

設(shè)t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．…（8分）
（1）若0＜a≤1，則△≤0，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，
又h（1）=0，所以h（x）＜h（1）=0．
所以0＜a≤1符合條件．…（10分）
（2）若a＞1，則△＞0，t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，
所以存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，h（x）在（x₀，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
又h（1）=0，所以當(dāng)x∈（x₀，1）時，h（x）＞0，不合要求．
綜合（1）（2）可得0＜a≤1．…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．