Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知B為橢圓C在y軸的左測(cè)上一點(diǎn)，線段BF與拋物線y²=2px（p＞0）交于A，且滿(mǎn)足

AB

=2

FA

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知離心率及點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，列方程即可得a、b、c的值；（2）設(shè)B（x₀，y₀），A（x_A，y_A），利用向量相等的意義得兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，分別代入橢圓和拋物線方程即可得p關(guān)于
x₀的函數(shù)，利用換元法求值域即可

解答：解：（1）∵

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率e=

2

2

，∴

c

a

=

2

2

．①
而右焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線之距d=c+

a2

c

=3．②
又a²=b²+c²     ③
由①②③解之得a=

2

，c=1，b=1．
從而所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)B在橢圓

x2

2

+y2=1(x＜0)上，
設(shè)B（x₀，y₀），其中-

2

≤x0＜0，設(shè)A（x_A，y_A）
由

AB

=2

FA

，得（x₀-x_A，y₀-y_A）=2（x_A-1，y_A）
∴xA=

x0+2

3

，yA=

y0

3

．
由點(diǎn)A在拋物線y²=2px上，得

y 2 0

9

=2p•

x0+2

3

．
又

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，
∴12p=

2- x 2 0

x0+2

．
令t=x₀+2，則2-

2

≤t＜2，
即12p=

-t2+4t-2

t

=-(t+

2

t

-4)．
∵2-

2

≤t＜2．∴t+

2

t

≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

時(shí)取“=”）．
∴p≤

1

3

-

2

6

．
又當(dāng)t=

2

時(shí)，x0=

2

-2為橢圓在y軸左側(cè)上的點(diǎn)．
故p的最大值為

1

3

-

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用函數(shù)求最值的思想方法，向量在解析幾何中的應(yīng)用