Question

（2004•武漢模擬）（理科）在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，AC′為對(duì)角線，M、N分別為BB′，B′C′中點(diǎn)，P為線段MN中點(diǎn)．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求DP和AC′所成角．

Answer 1

分析：（1）要求DP和平面ABCD所成的角的正切，關(guān)鍵是確定DP和面ABCD所成角，根據(jù)面BC′⊥面AC，故可作PH⊥BC，從而可得∠HDP為所求；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而利用向量的夾角求異面直線所成角．

解答：解：（1）過P作PH⊥BC于足H，連DH，
∵面BC′⊥面AC，則PH⊥面ABCD，
∴DP和面ABCD所成角即為∠HDP．
在正方形BCC′B′，M，N分別為BB′，B′C′中點(diǎn)，P為MN中點(diǎn)，
又B′C′=1，則PH=

3

4

，BH=

1

4

，CH=

3

4

，
DH=

DC2+DH2

=

1+( 3 4 )2

=

5

4

在Rt△PHD中，tan∠HDP=

3 4

5 4

=

3

5

(6分)
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系
A(0，0，1)，C′(1，1，0)，則

AC′

=(1，1，-1)，
D(0，1，1)，P(1，

1

4

，

1

4

)．
則

DP

=(1，-

3

4

，-

3

4

)
設(shè)

AC

和

DP

夾角為θ
cosθ=

(1，1，-1)•(1，- 3 4 ，- 3 4 )

3 • 1+ 9 16 + 9 16

=

4

102

θ=arccos

4

102

=arccos

2 102

51

(12分)

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與平面所成的角，主要考查線面面角與線線角，關(guān)鍵是線面角的確定，及用空間向量解決線線角．