如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都等于2,D在AC1上,F(xiàn)為BB1中點,且FD⊥AC1.

 

 

   (1)試求的值;

   (2)求二面角F-AC1-C的大;

   (3)求點C1到平面AFC的距離.

 

 

【答案】

本小題考查空間線線、線面關(guān)系及二面角的求法.

 
解(解法一)(1)連AF,F(xiàn)C1,因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱長都等于2,又F為BB1中點,∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F,

∴AF=FC1.  又在△AFC1中,F(xiàn)D⊥AC1,

所以D為AC1的中點,即.(4分)

   (2)取AC的中點E,連接BE及DE,

 

則得DE與FB平行且相等,所以四邊形DEBF是平行四邊形,所以FD與BE平行.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,

所以△ABC是正三角形,∴BE⊥AC,∴FD⊥AC,又∵FD⊥AC1,∴FD⊥平面ACC1

∴平面AFC1⊥平面ACC1    所以二面角F-AC1-C的大小為.   。9分)

   (3)運用等積法求解:AC=2,AF=CF=,可求,

,

,得.  。12分)

(解法二)取BC的中點O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

 

 
由已知得

(1)設(shè),則,

 

  

解得,即. 。4分)

   (2)設(shè)平面FAC1的一個法向量為

,由,

又由,得,

仿上可得平面ACC1的一個法向量為.  。6分)

.故二面角F-AC1-C的大小為.。8分)

   (3)設(shè)平面AFC的一個法向量為

, 由.

解得

所以C1到平面AFC的距離為

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點O為AB1上的動點,當(dāng)OD∥平面ABC時,求
AOOB1
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