如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都等于2,D在AC1上,F(xiàn)為BB1中點,且FD⊥AC1.
(1)試求的值;
(2)求二面角F-AC1-C的大;
(3)求點C1到平面AFC的距離.
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本小題考查空間線線、線面關(guān)系及二面角的求法.
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∴AF=FC1. 又在△AFC1中,F(xiàn)D⊥AC1,
所以D為AC1的中點,即.(4分)
(2)取AC的中點E,連接BE及DE,
則得DE與FB平行且相等,所以四邊形DEBF是平行四邊形,所以FD與BE平行.
因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
所以△ABC是正三角形,∴BE⊥AC,∴FD⊥AC,又∵FD⊥AC1,∴FD⊥平面ACC1,
∴平面AFC1⊥平面ACC1 所以二面角F-AC1-C的大小為. 。9分)
(3)運用等積法求解:AC=2,AF=CF=,可求,
,
,得. 。12分)
(解法二)取BC的中點O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
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(1)設(shè),則,
得,
即
解得,即. 。4分)
(2)設(shè)平面FAC1的一個法向量為
,由得,
又由,得,
仿上可得平面ACC1的一個法向量為. 。6分)
.故二面角F-AC1-C的大小為.。8分)
(3)設(shè)平面AFC的一個法向量為,
由得, 由得.
解得
所以C1到平面AFC的距離為
【解析】略
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A、2 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
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