Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差數列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9，
（1）分別求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，(Sn+

1

2

)•k≥bn恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）仿寫一個等式，兩式相減得到數列{a_n}的遞推關系，判斷出數列{a_n}是等比數列；利用等差數列及等比數列的通項公式分別求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）利用等比數列的前n項和公式求出S_n，分離出參數k，構造新數列{c_n}，利用后一項減去前一項，
判斷出數列{c_n}的單調性，求出它的最大值，求出k的范圍．

解答：解：（1）由a_n+1=2S_n+1①
得a_n=2S_n-1+1②，
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=3，a₁=1也滿足上式，
∴a_n=3^n-1；（3分）
b₅-b₃=2d=6∴d=3
∴b_n=3+（n-3）×3=3n-6；（6分）
（2）Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，
∴(

3n-1

2

+

1

2

 )k≥3n-6對n∈N^*恒成立，
∴k≥

6n-12

3n

對n∈N^*恒成立，（8分）
令cn=

3n-6

3n

，cn-cn-1= 

3n-6

3n

-

3n-9

3n-1

=

-2n+7

3n-1

，
當n≤3時，c_n＞c_n-1，當n≥4時，c_n＜c_n-1，（10分）
(cn)max=c3=

1

9

，
所以實數k的取值范圍是k≥

2

9

（12分）

點評：已知數列的項與前n項和間的遞推關系求數列的通項，一般通過仿寫作差的方法得到數列的遞推關系，再據遞推關系選擇合適的求通項方法．