Question

等比數(shù)列{a_n}中a₁₃=1，且a₁₂＞a₁₃，則滿足（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0的最大整數(shù)n=（　　）

• A、13
• B、24
• C、25
• D、26

Answer 1

分析：根據(jù)條件易知公比大于0小于1，因為等比數(shù)列的倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列也是等比數(shù)列，所以先分成兩組等比數(shù)列求和，然后把求和后的結(jié)果大于零進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，其中要用到a1=

a13

q12

=

1

q12

．

解答：解：∵a₁₂＞a₁₃=1，又∵公比q=

a13

a12

∴0＜q＜1
令S_n=(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+(a3-

1

a3

)+…+(an-

1

an

)
=(a1+a2+a3+…+an)-(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)  
=

a1(1-qn)

1-q

-

1 a1  [1-( 1 q )n]

1- 1 q

=

a1(1-qn)

1-q

+

q a1 [1-( 1 q )n]

1-q

   要S_n＞0 即

a1(1-qn)

1-q

+

q a1 [1-( 1 q )n]

1-q

＞0，又∵1-q＞0
   即  a1(1-qn)+

q

a1

[1-(

1

q

)n]＞0，又∵a1=

a13

q12

=

1

q12

   即  

1

q12

(1-qn)+q13[1-(

1

q

)n]＞0
   即 （1-qⁿ）（1-q^25-n）＞0
要使上式成立n的最大值為24  
故選：B．

點評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，即等比數(shù)列的倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列也是等比數(shù)列，還考查分組求和法運用，鍛煉了學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力．總體來說對于選擇題等價轉(zhuǎn)化過程有點復(fù)雜是本題的難點．