Question

已知：平面α∩平面β＝直線a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直線b．

求證：(Ⅰ)a⊥γ；

(Ⅱ)b⊥γ．

Answer 1

答案：
解析：

證明： 　　證法一(Ⅰ)設(shè)α∩γ＝AB，β∩γ＝AC．在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P并于γ內(nèi)作直線PM⊥AB，PN⊥AC．——1分 　　∵γ⊥α， 　　∴PM⊥α． 　　而aα， 　　∴PM⊥a． 　　同理PN⊥a．——4分 　　又PMγ，PNγ， 　　∴a⊥γ．——6分 　　(Ⅱ)于a上任取點(diǎn)Q，過b與Q作一平面交α于直線a1，交β于直線a2．——7分 　　∵b∥α，∴b∥a1． 　　同理b∥a2．——8分 　　∵a1，a2同過Q且平行于b， 　　∵a1，a2重合． 　　又a1α，a2β， 　　∴a1，a2都是α、β的交線，即都重合于a．——10分 　　∵b∥a1，∴b∥a． 　　而a⊥γ， 　　∴b⊥γ．——12分 　　注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分． 　　證法二(Ⅰ)在a上任取一點(diǎn)P，過P作直線⊥γ．——1分 　　∵α⊥γ，P∈α， 　　∴α． 　　同理β．——3分 　　可見是α，β的交線． 　　因而重合于a．——5分 　　又⊥γ， 　　∴a⊥γ．——6分 　　(Ⅱ)于α內(nèi)任取不在a上的一點(diǎn)，過b和該點(diǎn)作平面與α交于直線c．同法過b作平面與β交于直線d．——7分 　　∵b∥α，b∥β． 　　∴b∥c，b∥d．——8分 　　又cβ，dβ，可見c與d不重合．因而c∥d． 　　于是c∥β．——9分 　　∵c∥β，cα，α∩β＝a， 　　∴c∥a．——10分 　　∵b∥c，a∥c，b與a不重合(bα，aα)， 　　∴b∥a．——11分 　　而a⊥γ， 　　∴b⊥γ．——12分 　　注：在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的，該部分不給分．