Question

D（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，則給出下列結論
①函數(shù)D（x）的定義域為{x|x≠0}；        
②函數(shù)D（x）的值域[0，1]；
③函數(shù)D（x）是偶函數(shù)；                   
④函數(shù)D（x）不是單調函數(shù)．
⑤對任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．
其中的正確的結論是

 

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質及應用

分析：由函數(shù)定義域的概念易知結論①不正確；由函數(shù)值域的概念易知結論②不正確；
由偶函數(shù)定義可證明結論③正確；由函數(shù)單調性定義，易知④結論正確；
由分段函數(shù)的定義和有理數(shù)與無理數(shù)的概念，可證明結論⑤正確．

解答： 解：由于D（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

，
則①函數(shù)的定義域為R，故①錯；
②函數(shù)D（x）的值域是{0，1}，故②錯；
③由于D（-x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

=D（x），則D（x）是偶函數(shù)，故③正確；
④由于D（

2

）=0，D（2）=1，D（

5

）=0，顯然函數(shù)D（x）不是單調函數(shù)，故④正確；
⑤當x為有理數(shù)時，D（x）=1，要使D（x+T₀）=D（x）=1，則存在T₀∈Q，使得x+T₀為有理數(shù)成立；
當x為無理數(shù)時，D（x）=0，要使D（x+T₀）=D（x）=0，則存在T₀∈R，使得x+T₀為無理數(shù)成立．
對任意的x∈R，都存在T₀∈R，使得D（x+T₀）=D（x）．故⑤正確．
故答案為：③④⑤

點評：本題考查分段函數(shù)及運用，考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的單調性、奇偶性、值域等性質，考查推理能力，屬于中檔題．