Question

下面四個(gè)不等式：
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）a（1-a）≤；
（3）+≥2；
（4）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²；
其中恒成立的有（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：作差，進(jìn)而可以因式分解，從而得到完全平方式，故可證（1）（4），根據(jù)基本不等式可證（2），（3）可利用取特殊值進(jìn)行判定．
解答：解：（1）a²+b²+c²-ab-ac-bc
=（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=[（a²-2ab+b²）+（b²-2bc+c²）+（a²-2ac+c²）]
=[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]≥0，故恒成立；
（2）a（1-a）≤=，故恒成立；
（3）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，不等式不成立，故不恒成立；
（4）∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-（a²c²+b²d²+2acbd）
=a²d²+b²c²-2acbd=（ad-bc）²≥0則（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，故恒成立；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式的證明，以及配方法的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．