Question

有三個新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點處，且AB=AC=13km，BC=10km．今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處，（建立坐標系如圖）
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，點P應位于何處？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)P的坐標為（0，y），表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，即可得到建立；
（II）P至三鎮(zhèn)的最遠距離為
解法一：確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求最值，從而可得點P的坐標；
解法二：作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，可得結(jié)論；
解法三：結(jié)合圖形，分類討論，確定點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最�。�
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P的坐標為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f（y）=2（25+y²）+（12-y）²=3（y-4）²+146．
所以，當y=4時，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點P的坐標是（0，4）．
（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為
由解得，記，于是
因為在[y^*，+∞）上是增函數(shù)，而|12-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)．
所以y=y^*時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是；
解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠距離為 
由解得，記，于是
函數(shù)x=g（y）的圖象如圖（a），
因此，當y=y^*時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：點P的坐標是；
解法三：因為在△ABC中，AB=AC=13，且，．
所以△ABC的外心M在線段AO上，其坐標為，且AM=BM=CM．
當P在射線MA上，記P為P₁；
當P在射線MA的反向延長線上，記P為P₂，這時P到A、B、C三點的最遠距離為P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以點P與外心M重合時，P到三鎮(zhèn)的最遠距離最�。�
答：點P的坐標是；
點評：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．