Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）．
（1）證明：數(shù)列{

2n

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=n（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）兩邊取倒數(shù)并化簡得

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，兩邊再同乘以2ⁿ⁺¹，構(gòu)造出

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，從而數(shù)列{

2n

an

}是等差數(shù)列；
（2）由（1）得，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，利用錯位相消法求和．

解答： 解：（1）a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N）．兩邊取倒數(shù)并化簡得

1

an+1

=

1

2n+1

+

1

2an

，兩邊再同乘以2ⁿ⁺¹，并移向得

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，所以數(shù)列{

2n

an

}是以

2

a1

=2為首項，以1為公差的等差數(shù)列；且數(shù)列{

2n

an

}的通項公式為

2n

an

=2+（n-1）×1=n+1，從而數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=

2n

n+1

．
（2）由（1）得，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
兩邊同乘以2得，2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-S_n=2+2²+2³+…+n•2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹
=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2，
所以S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，錯位相消法求和，考查轉(zhuǎn)化，構(gòu)造，論證計算等能力．