Question

12．設函數(shù)$f（x）=\frac{{{{（sinx+1）}^2}}}{{{{sin}^2}x+1}}$的最大值為M，最小值為m，則M+m=2．

Answer 1

分析 通過換元可知y=f（x）=1+$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，其中t=sinx∈[-1，1]，利用z=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$為奇函數(shù)可知z_max+z_min=0，進而M+m=（1+z_max）+（1+z_min）=2．

解答 解：由題可知t=sinx∈[-1，1]，則y=f（x）=1+$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，
令z=$\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，則當t=0時z=0，且函數(shù)z為奇函數(shù)，
所以z_max+z_min=0，
又因為M+m=（1+z_max）+（1+z_min），
所以M+m=2+（z_max+z_min）=2，
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)的奇偶性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．