Question

設(shè)函數(shù)（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數(shù)，g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）對任意x∈（0，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） 證明：x∈R，，所以f（x）是奇函數(shù)．…（3分）
?x₁，x₂∈（0，2]，當(dāng)0＜x₁＜x₂≤2，，
因為0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴，
∴＞0，故有g(shù)（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）對任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即實數(shù)m的取值范圍為（-∞，3）．…（13分）
分析：（Ⅰ） 對任意的x∈R，求得f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)．設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，求得＞0，可得g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意可得f（m）＜g_min（x），即，整理得2^m＜8，解指數(shù)不等式求得實數(shù)m的取值范圍
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．