Question

11．已知x＞0，y＞0，lg2^x+lg4^y=lg2，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡lg2^x+lg4^y，求出x，y的關(guān)系，利用基本不等式求解．

解答 解：根據(jù)對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算法則：lg2^x+lg4^y=lg2^x•4^y
∵lg2^x+lg4^y=lg2
∴l(xiāng)g2^x•4^y=lg2，
即：x+2y=1
∵x＞0，y＞0，
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=3+$\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$$≥3+2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{x}}=3+2\sqrt{2}$；
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}-1$，y=$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為$3+2\sqrt{2}$
故答案為：$3+2\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的加減運(yùn)算法則以及利用基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．