Question

【題目】已知圓O：x2＋y2＝9及點(diǎn)C(2，1)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，直線(xiàn)l的方程為________．

Answer 1

【答案】x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

【解析】

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，S△OPQ＝2，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），（k），求圓心到直線(xiàn)PQ的距離d，得|PQ|＝2，利用基本不等式求面積最值，由此能求出直線(xiàn)l的方程．

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝2，則P、Q的坐標(biāo)為（2，），（2，），

∴S△OPQ2，

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），（k），

則圓心到直線(xiàn)PQ的距離為d，則|PQ|＝2，

∴S△OPQd，

當(dāng)且僅當(dāng)9﹣d2＝d2，即d2時(shí)，S△OPQ取得最大值，

∵，∴S△OPQ的最大值為，

此時(shí)，由，解得k＝﹣7或k＝﹣1．

此時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x+y﹣3＝0或7x+y﹣15＝0．